Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰梯形ABCD四个顶点都在抛物线y=ax 2 +bx+c上，其中点A、B在x轴

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰梯形ABCD四个顶点都在抛物线y=ax 2 +bx+c上，其中点A、B在x轴上，点D在 轴上，且CD∥AB, 已知S 梯形ABCD =8，tan∠DAO=4，点B的坐标为（2，0），点E坐标为（0，－1）.（1）求此抛物线的解析式；（2）若△OEB从点B开始以 个单位每秒的速度沿BD向终点D匀速运动. 设运动时间为t秒，在整个运动过程中，当边OE与线段AD相交时，求运动时间t的取值范围；（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在x轴上方的抛物线上，若能，请直接写出旋转中心的坐标，若不能，请说明理由.





Answer 1

解：（1）在等腰梯形ABCD中，S 梯形ABCD =8 ∴ ∴OD=4       ∴D（0，4）          ∵tan∠DAO=4       ∴OA="1" ∴A（－1，0）                   把A（－1，0）、B（2，0）、D（0，4）代入y=ax 2 +bx+c得       ∴ ∴y=－2x 2 +2x+4    （2）当点O在线段AD上时，如图， BB 1 = t  B 1 O 1 =2   B 1 H="2" t  BH= t B 1 G=2－t    O 1 G=2－（2－t）= t 由△DO 1 G∽△DAO得   ∴   当点E在线段AD上时，如图， BB 1 = t     B 1 H="2" t  BH= t ∵B 1 O 1 =2   ∴E 1 G=t    DG=4－（2 t－1）=5－2 t 由△DE 1 G∽△DAO得   ∴ ∴                （3）（－2，2） （ ， ） （3， ）  （－1， ）

（1）根据等腰梯形ABCD的面积可以求出点A的坐标（－1，0），由A（－1，0）、B（2，0）、D（0，4）利用待定系数法可以求出抛物线的解析式； （2）从点O在线段AD上到点E在线段AD上的过程中边OE与线段AD相交，当点O在线段AD上时，由△DO 1 G∽△DAO利用对应边成比例得到一个时间，当点E在线段AD上时，由△DE 1 G∽△DAO得到另一个时间，两个时间之间的范围即为所求。 （3）分情况讨论。