Question

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次

如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 　 　 ，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为 　 　 ，此时AE与BF的数量关系是 　 　 ；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．

Answer 1

（1）△DEF为等边三角形，EF的长为4 ﹣4 ． （2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF． ②y=2x 2 ﹣8x+16（0＜x＜4），y的取值范围为：8≤y＜16． （3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4 ﹣4．

试题分析：（1）根据旋转的性质，易知△EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理即求出EF的长； （2）①四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF； ②求出面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围． （3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为4 ﹣4 试题解析：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则△DEF为等边三角形． 在Rt△ADE与Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL） ∴AE=CF． 设AE=CF=x，则BE=BF=4﹣x ∴△BEF为等腰直角三角形． ∴EF= BF= （4﹣x）． ∴DE=DF=EF= （4﹣x）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE 2 +AD 2 =DE 2 ，即：x+4 2 =[ （4﹣x] 2 ， 解得：x 1 =8﹣4 ，x 2 =8+4 （舍去） ∴EF= （4﹣x）=4 ﹣4 ． DEF的形状为等边三角形，EF的长为4 ﹣4 ． （2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF．理由如下： 依题意画出图形，如答图1所示： 由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH的形状为正方形． ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3． ∵∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=∠4． ∵EF=EH ∴△AEH≌△BFE（ASA） ∴AE=BF． ②利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形， ∴BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4﹣x． ∴y=S 正方形ABCD ﹣4S △AEH =4×4﹣4× x（4﹣x）=2x 2 ﹣8x+16． ∴y=2x 2 ﹣8x+16（0＜x＜4） ∵y=2x 2 ﹣8x+16=2（x﹣2） 2 +8， ∴当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16， ∴y的取值范围为：8≤y＜16． （3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4 ﹣4． 如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形． 设边长EF=FG=x，则BF=CG= x， BC=BF+FG+CG= x+x+ x=4，解得：x=4 ﹣4．