Question

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=2，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．联结OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线--过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．

Answer 1

（1）过点O作OM⊥BC，垂足为M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=

1

2

DC=1，CM=

1

2

BC=1．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

＝

CE

EM

，
即

y

1

＝

x

x+1

，
解得y＝

x

x+1

，定义域为x＞0．
（2）作OM∥CD，交CD于点M．

∵四边形ABCD是平行四边形形，
∴OB=OD．
∵OM∥CD，
∴OM=

1

2

DC=1，CM=

1

2

BC=

3

2

．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

＝

CE

EM

，
即

y

1

＝

x

x+ 3 2

，解得y=

2x

2x+3

，定义域为x＞0；
（3）AD∥BC，

BO

OD

＝

BC

AD

＝

4

2

，

BO

BD

＝

4

4+2

＝

4

6

＝

2

3

．
过点O作ON∥CD，交BC于点N，

∴

ON

DC

＝

BO

BD

，
∴ON=2．
∵ON∥CD，

BN

BC

＝

ON

CD

＝

2

3

，
∴BN=

8

3

，
∴CN=4-

8

3

=

4

3

，
∴EN=x+

4

3

．
∵ON∥CD，
∴