Question

如图1．△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，连MA．（1）若∠BAC=60゜，则①△BAE

如图1．△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE、CF交于M，连MA．（1）若∠BAC=60゜，则①△BAE≌△CAF；②∠CMB=60゜．（2）求证：AM平分∠BMF．（3）如图2，若∠BAC=α，直接写出∠AME=______用含α的式子表示）

Answer 1

（1）①解：∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在△BAE和△CAF中

AB=AC ∠EAB=∠FAC AE=AF

∴△BAE≌△CAF（SAS）．

②解：∵△BAE≌△CAF，
∴∠FCA=∠EBA，
∵在△CMB中，∠CMB=180°-（∠MCA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（EBA+∠ACB+∠CBM）
=180°-（∠ACB+∠ABC）
=180°-（180°-∠BAC）
=∠BAC
=60°，
∴∠CMB=60°．

（2）证明：如图1，过A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，
∵△BAE≌△CAF，
∴△BAE的面积=△CAF的面积，CF=BE，
∴

1

2

CF×AH=

1

2

BE×AQ，
∴AH=AQ，
∵AQ⊥BE，AH⊥CF，
∴AM平分∠BMF．

（3）解：∠AME=90°+

1

2

α，
理由是：∵∠CMB=∠BAC=α，AM平分∠BMF，
∴∠EMF=∠CMB=α，∠AMF=∠BMA=

1

2

∠BMF=

1

2

（180°-∠CMB）=

1

2

（180°-α）=90°-

1

2

α，
∴∠AME=∠AMF+∠EMF=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α．
故答案为：90°+

1

2

α．