Question

若不等式x2-logmx＜0在（0，12）内恒成立，则实数m的取值范围为______

若不等式x2-logmx＜0在（0，12）内恒成立，则实数m的取值范围为______．

Answer 1

由x²-log_mx＜0，得x²＜log_mx，在同一坐标系中作y=x²和y=log_mx的草图，如图所示

要使x²＜log_mx在（0，

1

2

）内恒成立，只要y=log_mx在（0，

1

2

）内的图象在y=x²的上方，
于是0＜m＜1
∵x＝

1

2

时，y＝x2＝

1

4

∴只要x＝

1

2

时，y＝logm

1

2

≥

1

4

＝logmm

1

4

，
∴

1

2

≤m

1

4

，即

1

16

≤m．
又0＜m＜1，
∴

1

16

≤m＜1．
即实数m的取值范围是[

1

16

，1)．

Answer 2

解：

由x2-logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图

如下图所示:
要使x2＜logmx在（0，1/ 2  ）内恒成立，只

要y=logmx在（0，1/ 2    ）内的图象在y=x2的上方，于是0＜m＜1

∵x＝1/ 2 时，y＝x2＝1/4    

∴只要x＝1/2  时，y＝logm1/ 2 ≥1/ 4 ＝logmm1/ 4 ，

∴1/ 2 ≤m1 /4  ，即1 / 16≤m．

又0＜m＜1，
∴1/16 ≤m＜1．

即实数m的取值范围是[1/16 ，1)．