已知三棱锥A-PBC，∠ACB=90°，AB=20，BC=4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．（1）求证：BC⊥平
已知三棱锥A-PBC，∠ACB=90°，AB=20，BC=4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求三棱锥D-PBC的体积...
已知三棱锥A-PBC，∠ACB=90°，AB=20，BC=4，PA⊥PC，D为AB边中点且△PDB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC； （2）求三棱锥D-PBC的体积．
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证明：（1）∵D为AB边中点且△PDB为正三角形
∴AP⊥PB
又∵PA⊥PC，PB∩PC=B，PB，PC?平面PBC
∴PA⊥平面PBC
又∵BC?平面PBC
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴BC⊥平面PAC；
解：（2）在Rt△PAB中，AB=20，PB=
AB=10
∴PA=
=10
∵D为AB边中点
∴三棱锥D-PBC的高h=
PA=5
底面PBC中，BC=4，
∴PC=
=2
故S△PBC=
?PC?BC=4
故三棱锥D-PBC的体积V=
?S△PBC?h=20
∴AP⊥PB
又∵PA⊥PC，PB∩PC=B，PB，PC?平面PBC
∴PA⊥平面PBC
又∵BC?平面PBC
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC
∴BC⊥平面PAC；
解：（2）在Rt△PAB中，AB=20，PB=
| 1 |
| 2 |
∴PA=
| AB2?PB2 |
| 3 |
∵D为AB边中点
∴三棱锥D-PBC的高h=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
底面PBC中，BC=4，
∴PC=
| PB2?BC2 |
| 21 |
故S△PBC=
| 1 |
| 2 |
| 21 |
故三棱锥D-PBC的体积V=
| 1 |
| 3 |
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