Question

已知直线的直角坐标方程，怎么求它的参数方程，求过程

Answer 1

过点P(2,0)作倾斜角a为的直线L与曲线x^2+2y^2=1交于A、B两点；(1)写出直线L的参数方程；
(2)sina的取值范围；(3)向量PA*向量PB的最小值
(1)直线L的参数方程为：x=2+tcosα,y=tsinα.(t∈R,arctan(-1/√7)≦α≦arctan(1/√7))
(2)将直线L的参数方程改写成直角坐标方程y=k(x-2),代入椭圆方程得：
x²+2k²(x-2)²=1,展开化简得：(1+2k²)x²-8k²x+8k²-1=0,当直线与椭圆相切时,此方程只有一
个实数根,故其判别式Δ=64k⁴-4(1+2k²)(8k²-1)=-28k²+4=0,于是得k=±1/√7,即
-1/√7≦k=tanα≦1/√7；故-1/(2√2)≦sinα≦1/(2√2),或写成-(√2)/4≦sinα≦(√2)/4.
(3)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)；则PA=(x₁-2,y₁)；PB=(x₂-2,y₂).
于是PA•PB=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂=x₁x₂-2(x₁+x₂)+y₁y₂+4.(1)
其中x₁+x₂=8k²/(1+2k²)； x₁x₂=(8k²-1)/(1+2k²)；
y₁y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)=k²[(x₁x₂-2(x₁+x₂)+4]
=k²[(8k²-1)/(1+2k²)-16k²/(1+2k²)+4]=3k²/(1+2k²)
代入(1)式得PA•PB=(8k²-1)/(1+2k²)-16k²/(1+2k²)+3k²/(1+2k²)+4=3k²/(1+2k²)≧0
即当k=0时获得PA•PB的最小值,其最小值为0.