Question

当n趋向无穷时，n/(n!)^(1/n)怎么求

Answer 1

答案是e，详情如图所示

Answer 2

1. 首先可以告诉你结果是e. 可以用著名的Stirling公式得到. 但是绝大部分人不熟悉这个公式.

2. 下面给出一个积分的做法.

3. a_n=e^(ln(an)

4. 指数部分是 lnn-(ln1+ln2+....+lnn)/n=-1/n(ln(1/n)+ln(2/n)+...+ln(n/n))

5. 利用黎曼和: 上述表达式是-lnx 在[0,1]上的反常积分.

6. 这个反常积分利用分部积分公式很容易得到是1.

7. 所以最终的极限是e^1=e.
   

Answer 3

设: xn = n^n/n!
则：lim(n->∞) x(n+1)/xn = lim(n->∞) (1+1/n)^n = e

【 由定理：lim(n->∞) （xn)^(1/n) = lim(n->∞) x(n+1)/xn 】
∴
lim(n->∞) (n^n/n!)^1/n = lim(n->∞) （xn)^(1/n) = lim(n->∞) x(n+1)/xn = e