Question

在曲线上L:xy=1(x>0)求一点,使函数f(x,y)=x^2+2y^2达到最小值

Answer 1

设x²+2y²=t (t>0)
→x²/(√t)²+y²/(√(t/2))²=1
故进一步可设
x=√tcosθ，y=√(t/2)sinθ
代入曲线xy=1得
√tcosθ·√(t/2)sinθ=1
→t=2√2/sin2θ.
当sin2θ=1，即θ=π/4时
t最小值为: 2√2.
∴x=√(2√2)cos(π/4)=√(√2)，
y=√(2√2/2)sin(π/4)=√(√2/2).
即所求点为: (√(√2)，√(√2/2))。