Question

设函数fx=2x|x-a|+b(a<0,b属于r)gx=x+1(1)讨论fx在[-1,1]上单调

(2)当a=-1时，求出函数hx=fx+b|g(-x)|在区间[-1,1]上最小值

Answer 1

(1)f(x)=2x|x-a|+b(a<0,b∈R)
={2x^2-2ax+b=2(x-a/2)^2+b-a^2/2,x>=a;
{-2x^2+2ax+b=-2(x-a/2)^2+b+a^2/2,x<a.a<0时a<a/2.
a/2<=-1,即a<=-2时f(x)在[-1,1]上是增函数（见第一段函数）；
-2<a<=-1时f(x)在[-1,a/2]上是减函数，在(a/2,1]上是增函数（见第一段函数）；
-1<a<0时a<a/2,f(x)在[-1,a)上是增函数（见第二段函数），在[a,a/2]上是减函数，在[a/2,1]上是增函数（见第一段函数）。
(2)h(x)=2x|x+1|+b+b|ln(1-x)|(x∈[-1,1))
={2x^2+2x+b+bln(1-x),-1<=x<=0;
{2x^2+2x+b-bln(1-x),0<x<1.
h'(x)={4x+2-b/(1-x)=(4x^2-2x+b-2)/(x-1),-1<=x<=0;
{4x+2+b/(1-x),0<x<1.
由h'(x)=0得4x^2-2x+b-2=0(-1<=x<=0),4x^2-2x-b-2=0(0<x<1),
△1=4-16（b-2)=16(9/4-b),
△2=4-16（-b-2)=16(9/4+b),
-9/4<=b<=2时解得x1=[1-2√（9/4-b)]/4(-1<=x<=0)；
-9/4<=b<=-2时x=[1土2√（9/4+b)]/4,
-2<b<=0时x2=[1+2√（9/4+b)]/4，
0<b<9/4时x3=[1-2√（9/4+b)]/4(0<x<1).
x1<x<=0时h'(x)>0,-1<=x<x1时h'(x)<0；
0<x3<x<x2<1时h'(x)>0,0<x<x3或x2<x<1时h'(x)<0,
∴只需比较h(x1),h(x3):难！
∴h(x)的最小值=？
请检查题目。