Question

线性代数初等行变换解方程组

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Answer 1

写出系数矩阵为
1 0 1 -1
3 1 0 2
2 2 -1 3 r2-3r1,r3-2r1
～
1 0 1 -1
0 1 -3 5
0 2 -3 5 r3-2r2
～
1 0 1 -1
0 1 -3 5
0 0 3 -5 r2+r3，r3/3，r1- r3
～
1 0 0 2/3
0 1 0 0
0 0 1 -5/3
得到基础解系为
(-2/3,0,5/3,1)^T
故通解为C *(-2/3,0,5/3,1)^T，C为常数

Answer 2

基本的方法是把矩阵通过初等行变换转化为行规范形矩阵。转化后可以通过行规范形矩阵直接得解。具体过程在这里叙述较为繁琐，请读者参阅线性代数教科书。

一个比较好的理解由行规范形矩阵得解过程的办法是把行规范形矩阵重新写成方程组的形式。
假设线性方程组为 Ax=b。（这里A为矩阵，x为待求向量，b为已知向量，b为零向量时方程组为齐次方程组）
增广矩阵 (A,b) 经过初等行变换转化为行规范形矩阵 (A',b')。
不难理解，方程组 Ax=b 等价于 A'x=b'。
由于 A' 已经转化为行规范形矩阵，A'x=b' 将是一个十分简单的方程组，由这个方程组得解，将十分简单，有助于对最终得解过程的理解。

另外，矩阵通过初等行变换转化为行规范形矩阵的转化过程参考本人在另一个问题的回答，链接：
http://zhidao.baidu.com/question/1895641145730877420