Question

怎样将一个函数展开成幂级数

函数f(x)=1/(1-2x)的麦克劳林级数为
将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数

Answer 1

函数展开成幂级数的一般方法是：

1、直接展开

对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。

2、通过变量代换来利用已知的函数展开式

例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。

3、通过变形来利用已知的函数展开式

例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数，我们就可以将函数写成 x−1 的函数，然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式

例如 coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。

5，利用级数的四则运算

例如 sinhx=(e^x−e^{−x})/2，它的幂级数就可以利用e^x 和 e^{−x} 的幂级数通过四则运算得到。

扩展资料：

幂级数的和函数的性质

性质一：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

性质二：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

推论：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域内可逐项积分任意次。

性质三：幂级数  的和函数s（x）在其收敛区间  内可导，并有逐项求导公式

逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

推论：幂级数  的和函数s（x）在其收敛区间  内有任意阶导数。

参考资料：百度百科——幂级数

Answer 2

1. 定理：设函数 在点X₀的某一邻域内只有各阶导数，则在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是的Taylor公式中的余项的极限为零。

2. 

3.

4.小结：

幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。

一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点出的各阶导数，这是Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数的近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内。

Answer 3

函数展开成幂级数的一般方法是：
1、直接展开
对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指定点的值，从而求得幂级数的各个系数。
2、通过变量代换来利用已知的函数展开式
例如 sin2x 的展开式就可以通过将 sinx 的展开式里的 x 全部换成 2x 而得到。
3、通过变形来利用已知的函数展开式
例如要将 1/(1+x) 展开成 x−1 的幂级数，我们就可以将函数写成 x−1 的函数，然后利用 1/(1+x) 的幂级数展开式。
4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式
例如 coshx=(sinhx)′，它的幂级数展开式就可以通过将sinhx 的展开式逐项求导得到。需要注意的是，逐项积分法来求幂级数展开式，会有一个常数出现，这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值，令两边相等，就得到了常数的值。

Answer 4

f(x)=1/(1-2x)=1+2x+(2x)²+(2x)³+......
=1+2x+4x²+8x³+......+2^n*x^n+.....

f(x)=ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-..........

追问

可以告诉我方法吗？这一节没听懂，过程都看不懂。。

追答

常用的是
1/(1-x)=1+x+x²+x³+......， 收敛域为|x|<1
这其实是等比数列的求和公式得来的：公比为x, 首项为1的等比数列求和。

而y=ln(1+x)
y'=1/(1+x)
再将1/(1+x)用上面公式展开，即
y'=1/(1+x)=1-x+x²-x³+.....
积分得y=x-x²/2+x³/3-......

追问

函数展开成幂级数都是把函数转化成泰勒级数和麦克劳林级数吗？
还是泰勒级数和麦克劳林级数是函数展开成幂级数的两个特殊方式？

追答

函数展开成幂级数都是把函数转化成泰勒级数和麦克劳林级数。
麦克劳林级数其实是泰勒函数当x0=0时的特例，也就是在x=0处展开。

追问

谢谢！其实还是不懂我自己再好好研究研究吧，一点都不懂，问都不知道怎么问，，，

Answer 5

高数091｜函数展开成幂级数 来源于：高数叔