Question

M={x|ax²+bx+1>0},N={x|x²+bx+a<0},若M是N的子集,求a,b的关系

Answer 1

M是N的子集，则M为空集，或M的值域小于或等于N
若M为空集，a(x+b/2a)²+1-b²/4a²>0,则1-b²/4a²>0,且a>0
若M非空，
N={x|[-b-√(b²-4a)]/2<x<[-b+√(b²-4a)]/2},b²-4a>0，为封闭集
M={x|x<[-b-√(b²-4a)]/2a或x>[-b+√(b²-4a)]/2a}，为开放集
M⊆N，不存在
综上，有若M是N的子集，则1-b²/4a²>0,且a>0

追问

如果a＜0不就都是封闭集了么

1- b²/4a＞0，a＞0，M=R,怎么会是空集

追答

不管a是什么数，M的开口都是朝两边的，不会封闭，一个大于大的，一个小于小的。

第一个写错了，大晚上男子不灵光了。

a(x+b/2a)²+1-b²/4a²>0

则a(x+b/2a)²>b²/4a²-1
当b²/4a²-1>0,a0,且a>0

追问

a＜0时，开口向下不是么

那大于0的部分就是封闭集了啊

追答

应该是1-b²/4a²》0,且a《0，都有个=0

a《0时，开口是向下啊，值域就是（-∞，0]
不可能大于0啊
所以是空集啊

追问

y=ax²+bx+1肯定跟y轴交于(0，1)，所以，当a＜0，一定有一部分图像是在x轴上方的，怎么可能值域(-∞，0]

而且顶点式不是a(x+b/2a)²+1- b²/4a么

追答

不要去看ax²+bx+1>0，都已经化简到a(x+b/2a)²>b²/4a²-1 看a(x+b/2a)²的图形和值域

追问

好吧，可是这样就等价于b²＜4a，a＜0了，可是b²肯定大于0，无解啊

追答

1-b²/4a²》0,且a《0

这怎么会无解
1》b²/4a²
4a²》b²,且a《0

追问

是b²/4a

你顶点式算错了

还是考虑一下两个封闭集的情况吧

追答

还真算错了，b²/4a恒小于零，直接就出来1-b²/4a》0恒恒成立。

不过貌似还要加个a>0的情况了，当a>0,使a(x+b/2a)²<b²/4a-1 恒成立，你算下，我回去再帮你算下

a>0的情况，开口朝上，顶点为0，不是空集，且值域是开口朝两边的开放集
答案就是a<0
有问题再讨论，算数不太行了