Question

21题，详细过程。

Answer 1

（1）因为切点过切线，所以f(1)=a=2*1-1=1
f(x)=x+bx^2*lnx
f'(x)=1+2bx*lnx+bx
f'(1)=1+b=2
所以a=1，b=1
（2）f(x)=x+x^2*lnx>=kx^2+(k-1)x恒成立，定义域为x>0
f(x)-kx^2-(k-1)x
=x+x^2*lnx-kx^2-kx+x
=(lnx-k)x^2+(2-k)x
则g(x)>=0在x>0上恒成立
(lnx-k)x+(2-k)>=0
(x+1)k<=(xlnx+2)
k<=(xlnx+2)/(x+1)
=(xlnx+lnx+2-lnx)/(x+1)
=lnx+(2-lnx)/(x+1)
令g(x)=lnx+(2-lnx)/(x+1)
g'(x)=1/x+[-1/x-3+lnx]/(x+1)^2=0
1/x=(1/x+3-lnx)/(x^2+2x+1)
lnx=1-x
所以x=1是g(x)的驻点
g(1)=1
因为g(1/2)=-ln2+(2+ln2)/(3/2)=(4-ln2)/3>1
g(2)=ln2+(2-ln2)/3=(2+2ln2)/3>1
所以g(1)=1是g(x)的极小值点
所以k的最大值为1

Answer 2

Answer 3