Question

求函数y=sin(2x+π/6) x∈[0,π/2]的值域的步骤

Answer 1

0≤x≤π/2
那么0≤2x≤π
π/6≤2x+π/6≤7π/6
令t=2x+π/6
则函数化为y=sint（t∈[π/6，7π/6]）
我们知道，当-π/2≤t≤π/2时，y=sint是单调增函数。π/2≤t≤3π/2时，y=sint是单调减函数。（这个是正弦函数的单调区间划分）
所以对于y=sint（t∈[π/6，7π/6]）
当π/6≤t≤π/3时，y=sint是单调增函数，最大值是t=π/2时，y=sinπ/2=1，最小值是t=π/6时，y=sinπ/6=1/2。
当π/2≤t≤7π/6时，y=sint单调减函数，最大值是t=π/2时，y=sinπ/2=1，最小值是t=7π/6时，y=sin7π/6=-1/2。
所以可以明确，y的最大值是1，最小值在y=sinπ/6和y=sin7π/6之间确定。因为sinπ/6=1/2＞0，sin7π/6=-1/2＜0
所以最小值是y=sin7π/6=-1/2
所以y=sint（t∈[π/6，7π/6]）的值域是y∈[1/2，1]
所以y=sin(2x+π/6) x∈[0,π/2]的值域是y∈[1/2，1]

Answer 2

x∈(-π/6,π/6)
2x∈(-π/3,π/3)
2x+π/3∈(0,2π/3)
sin(2x+π/3)∈(0,1]
2sin(2x+π/3)∈(0,2]
所以函数y=2sin(2x+π/3),x属于(-π/6,π/6)的值域为：(0,2]