Question

复合肥料生产问题

5.复合肥料生产问题
某化肥厂生产一种肥料需要各种原料的混合使用，而市场原料的价格是经常有变动的（这里的价格是不固定的，为要求输入的数据），现生产一种复合肥，其中氮（N）磷（P）钾（K）的比例是16：9：20，原料1千克N、P、K、Cl、水的含量如下图：

表中数据为百分含量，如：N的46既为46%，表中价格是测试数据。
现要生产1000kg的复合肥，问各需要各种原料多少千克才能使成本最低？（根据国家规定复合肥中水份的含量不能超过2%，硫的含量不能超过2%）
其中25kg<腐殖酸<100kg，50kg<碳酸氢铵<100kg， 50kg<磷肥<150kg， 25kg <氨基酸<200kg

说明：配比的意思是百分含量，配比是16-9-20 意思是N P K的百分含量分别是 16% 9% 20%，也就是最终结果中N 为16%，P为9% ，K为20%。
属于数学建模问题 , 很急很急

Answer 1

合肥料最优配料选取模型--数学建模2008-06-11 20:22
摘要：根据原料配比，对已给数据进行分析处理，求最优解。
针对问题一，在一定时期单价不变的情况下，根据配比需求，建立线性规划模型，用求解线性规划的基本方法单纯形法，求解。即根据决策变量，在给定的约束条件下求解使成本最低的最优化目标函数。
针对问题二，如果价格饿编号符合线性函数，可以用线性动态规划求解，若价格变化不符合线性函数，则用非线性的动态规划求解。问题的结果可由Matlab求得。
关键字：最优解，单纯形法，决策变量，约束条件，目标函数，线性规划模型

一 问题的提出：
为了适应市场经济发展，一种合理，简约的策略是在实现合适的作用效果前提下，追求最大或最佳效益。
例如：
某化肥厂生产一种肥料需要各种原料的混合使用，而市场原料的价格是经常有变动的（这里的价格是不固定的，为要求输入的数据），现生产一种复合肥，其中氮（N）磷（P）钾（K）的比例是16：9：20，原料1千克N、P、K、Cl、水的含量如下图：

表中数据为百分含量，如：N的46既为46%，表中价格是测试数据。
现要生产1000kg的复合肥，问各需要各种原料多少千克才能使成本最低？（根据国家规定复合肥中水份的含量不能超过2%，硫的含量不能超过2%）
其中25kg<腐殖酸<100kg，50kg<碳酸氢铵<100kg， 50kg<磷肥<150kg， 25kg <氨基酸<200kg
问题一：根据图表假设一定好时期单价是固定的，配制原料，建立简单的模型。
问题二：当价格在市场中变动，考虑到相关的市场活动经费，进行相关的分析，建立模型。

二，问题的假设与符号的约定
2.1问题的假设
（1）成本的价格是不变的。
（2）各种原料含有元素的百分含量标准并且是可靠准确的。
（3）对于各种原料之间的反应及整体质量的变化忽略不计。
（4）不考虑其他随机因素的影响。
2.2符号的约定
Xi: 生产此复合肥所需第i中原料的质量(i=1，2，3，4…..16)且X=（x1,x2,x3……x16）。
Ni：第i种原料中N的百分含量，N=（N1,N2,…..N16）,i=1,2,3…..16.
Pi第i种原料中P的百分含量，:P=(P1,P2,P3…….P16),i=1,2,3….16。
Ki：第i种原料中K的百分含量，P=(P1,P2,P3,……P16),i=1,2,3….16。
bi：第i种原料的单价，单位为元/千克。
d i：第种原料中水的百分含量。i=1,2,3,…16.
ei：第种原料中硫的百分含量。i=1,2,3,…16.
y：生产该复合肥所需要的成本。

三、问题的分析
针对问题一，根据假设各原料在一定时期内单价是固定的，则以生产此复合肥的最低成本为最优目标，以各种原料的选取量为决策变量，一次复合肥对N，P，K所需要的百分含量和对各原料的需求范围以及国家对复合肥的规定为约束条件，建立议案性规划模型。
针对问题二：原来的价格可能会受到市场供求关系的变化影响而不断变化，目标函数将随着各原料单价的升降而变得复杂，再次我们不在进行讨论求解。

四，模型的建立及求解
4.1 模型的建立
我们的目标是成本最低，即使得在满足约束条件的前提下，使不同价格的原料得到充分利用并合理搭配达到成本最低，以使最后的各单价与原料选取数量乘积最小。
在问题一中，单价在一定时期内使稳定的，为：
（1570，1750，460，1940，1750，400，2250，450，440，120，400，100，500，500，795，800）
各原料选取量为：
x1,x2,x3,x4,x5, x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16
目标函数为：
minZ= 1570×x1+1750×x2+460×x3+1940×x4+1750×x5+400×x6+2250×x7+450×x8+440×x9+120×x10+400×x11+100×x12+500×x13+500×x14+795× x15+800×x16
问题的数学模型为：
(1)确立问题的决策变量：即 x1,x2,…..x16.分别为第一到第十六种原材料所需的质量。
(2)确定问题的约束条件：
根据表可有：NX'=160,PX'=90,KX'=200,
根据实际情况和题目要求，可以加入腐殖质的量在[25，100]之间，加入碳酸氢铵的量在[50，100]之间，加入磷肥的量在[50，150]之间，加入铵基酸的量在[25，200]之间，且复合肥中，水和硫的含量都不能超过2%，要生产复合肥的总量是1000kg.由此可得：
25<x6<100
50<x9<100
50<x11<150
25<x14<200
DX′≤2%×1000=20
EX′≤2%×1000=20

Xi≥0,i=1,2,3…16
由此约束条件表示为：
46%×x1+10%×x2+23%×x3+20.5%×x8+17%×x9+
14%×x14+11.5%×x15=160
45%×x2+12%×x11+6%×x15=90
62%×x4+56.44%×x5+50.8%×x7+3.86%×x14+9%×x15=200
25<x6<100
50<x9<100
50<x11<150
25<x14<200
2%×x1+5%×x2+5%×x3+1%×x4+……7.76%×x15≤20
17.272%×x7+23.37%×x8+0.1%×x13≤20
X1,x2,x3…..x16≥0,

(3)确定问题的目标函数：设y为生产1000kg化肥所需要的最低成本

用Matlab求解可得到最优解。

五、.模型的评价和改进
5.1模型的评价：
我们的模型完全建立在现有的数据基础上，由于时间紧迫，来不及去更多的试验数据来减少数据误差，并且对于现实情况中原料的价格变动考虑不全，因此降低了模型的实用性。但我们的数据都是来源于现实，必然对事件有一定的指导意义。
5.2模型的改进：
针对实际生活中不同农作物对N,P,K的需求量可能会有偏差，使N,P,K的选取量在一定的变化范围内，从而使成本最低，得到最有效的复合肥，可以用线性规划的对偶性问题进行求解。
5.3模型的推广：
对于复合肥料生产问题研究是很有意义的。在市场经济物质生产和研发产品的生产活动中，解决用不同材料进行配比制成新物质的生产问题，使其达到优化配置，获得最好的商业效益和最佳利润。

参考文献：
[1]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京，高等教育出版社，2005
[2]《数学模型》编辑组，数学模型，广州，华南理工大学出版社，2003
[3]么焕民等编著，数学建模，哈尔滨，哈尔滨工业大学出版社，2003
[4]数学建模原理与案例/冯杰等编著，北京，科学出版社，2007
附录：

.用Matlab求解输入的程序为：
C= [ 570 1750 460 1940 1750 400 2250 450 440 120 400 100 500 500 795 800];
A= [2 5 5 1 4.69 30 0.19 1 80 30 10 12.5 1 3.76 7.76 0;0 0 0 0 0 0 17.272 23.37 0 0 0 0 0.1 0 0 0 ];
b = [20;20];
Aeq=[46 10 23 0 0 0 0 20.5 17 0 0 0 0 14 11.5 0;0 45 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 6 0 ;0 0 0 62 56.44 0 50.8 0 0 0 0 0 0 3.86 9 0 ];
beq =[160;90;200;1000];
vlb=[0;0;0;0;0;25;0;0;

Answer 2

一楼很有耐心，给了如此详细的回答，不过我没有看明白，感觉是有点复杂。

问题的提出是为解决问题，我公司也是复合肥料厂也经常遇到这种情况，由您的复合肥料已经达到45%的含量，显然氮肥原料中只能是考虑尿素，硫酸铵、碳酸铵、氯化铵等因为含量低，无法在些配方中作为氮肥的原料。同理，磷肥中也只是选用磷酸一铵，钾肥中只能选择氯化钾和硫酸钾。

我公司是专门复合肥料代加工业务，合作客户上百家，每家加工的都是不同含量和配比的特殊肥料，现在我公司加工的各类肥料品种有956种。如此之多复合肥料品种，根本是无法通过人工来根据原料进行重新计算价格或选择最优的成本配方方案，也不需花几千元或几万元去购买专门复合肥成本核算软件。其实这些问题通过EXCELL电子表格进行一些简单的函数设置，就可以达到目的。

我公司的一份完整的产品清单及价格表请见百度文库http://wenku.baidu.com/view/d9ddea42336c1eb91a375dab.html

这份包含了900多种配方的复合肥料，我公司只需每天在设置页面，更新一下几种原料的成本价格，这900多种配方的复合肥料就自动重新计算出来，十分的方便，如有兴趣，可进一步与我购通进行交流。

希望对您有所帮助！