Question

利用极限存在准则证明： 如果能告知下做这类题的技巧加加加加悬赏~

Answer 1

用放缩法
分子都是1,分母是1*1,2*2,3*3,4*4......n*n
把分母替换成1*1,1*2,2*3,3*4......(n-1)*n,这样分母被缩小,分数值被放大,所以有
1+1/2²+1/3²+...+1/n²<1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n
同理,把分母换成1*1,2*3,3*4,4*5......n*(n+1),分母被放大,分数值减小,所以有
1+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/n(n+1)<1+1/2²+1/3²+...1/n²
∵1+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/n(n+1)=1+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=3/2-1/(n+1)
1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n-1)n=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n
而当n→∞时,3/2-1/(n+1)和2-1/n的极限都存在
所以,夹在3/2-1/(n+1)和2-1/n之间的原式极限也存在,并且可以知道这个值位於3/2和2之间.

追问

😂嗯嗯嗯谢谢谢谢谢谢谢谢

Answer 2

但就这道题而言，题主没学过级数的话。。
先用1/n2 ＜1/((n-1)×n)=(1/n-1)-1/n放大，证明放大后极限存在，然后，你再想想是不是就会了？

追问

是的…谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢

题外话…答主是不是学物理的…

半导体物理会不会做😣

追答

不好意思我不是那个方向的。。我只是本科生。。

追问

我也是本科生…

Answer 3

这是p级数，p>1时都是收敛的。
书上有证明。

追问

呃我只知道这是上册第一章，要求用单调有界准则证明…

追答

具体到本题，显然是严格单调递增的，只需说明有上界即可。

因为对于k>1,
1/(k^2)<1/[k(k-1)]=
1/(k-1) - 1/k,
两边求和，得
S(n)<2-1/n<2,
所以有界。
所以上述极限存在。

追问

好哒…谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢