Question

求学霸解答高一数学

Answer 1

设P（m，n），Q（s，t），那么：向量AP=（m-2，n-1），向量PB=（4-m，-3-n）
1）代入λ=1，得到二元一次方程组：m-2=4-m，n-1=-3-n
解得：m=3，n=-1【熟练的话可以看出来P是AB的中点】
所以：向量OP=（3，-1），向量PQ=（s-3，t+1）
二者的点积：3(s-3)-(t+1)=0
同时注意Q位于OB上，所以向量OQ与OB共线：s/4=t/(-3)
联立上面两个方程解得：s=8/3，t=-2，即Q坐标（8/3，-2）
2）向量AP=（m-2，n-1）=λ·向量PB=λ（4-m，-3-n）
同理解得：m=(4λ+2)/(λ+1)，n=(1-3λ)/(λ+1)【注意λ≠-1】
记向量OP与OM夹角θ，根据向量点积的几何意义：OP·OM=|OP||OM|cosθ
当θ为锐角时，cosθ>0，考虑|OP||OM|非负，所以OP·OM>0
代入向量的坐标，得到不等式：
[3(4λ+2)/(λ+1)]+2[(1-3λ)/(λ+1)]>0
整理得到：(3λ+4)/(λ+1)>0
解得：λ>-1或λ<-4/3