Question

空间四边形abcd中，ab＝1,bc＝cd＝bd＝ac＝ad＝2

1.求ab.cd 所成角
2.bc中点.求ap.bd所成角
bc中点为p

Answer 1

先认真地画个图
1、
不难发现AB⊥CD，于是就奔着这个方向而去：
设CD中点为E
连结AE、BE
∵AB=CD=BD=AC=AD
∴△ACD、△BCD为正三角形
∴BE⊥CD，AE⊥CD
又AE∩BE=E
∴CD⊥面ABE
∴CD⊥AB
∴AB、CD所成角为90°

2、
这个稍微烦一点，你可以考虑建立空间坐标系。那样就要过B点做面ACD的垂线，然后CD、AE和做出来的垂线就作为三个轴。
我这里说说不建系的方法：
不建系除了平行和垂直外，其它的都要把两条直线摆进同一个三角形内。所以要做平行线。
连结PD交BE于F，则BF:FE=DF:FP=2:1（三角形中线相互分为2:1的两个线段——有这种结论的）
在△DAP中，过F作FG平行于AP交AD于G
在△EBD中，过F作FH平行于BD交ED于H
连结HG
则：AP与BD的夹角就是FG与FH的夹角α
显然利用平行和之前提过的比例关系可以算出：
FG=2AP/3，FH=BD/3=2/3
∵EH:HD=EF:FB=1:2 AG:GD=PF:FD=1:2
∴HG=2AE/3
在△ABC中，可以用余弦定理算出cos角ABC，进而算出AP=√6/2
∴FG=√6/3
在△ACD中，易算出AE=√3，进而算出HG=2√3/3
那么△FGH的三边都算出来了，只需用余弦定理就可以算出α了：
cos α = (FH²+FG²-HG²)/(2*FH*FG) = -√6/12
∵线线角取锐角
∴AP、BD夹角的余弦值为√6/12