Question

高数微积分2 判断下列级数是否收敛？是否绝对收敛？给出依据

Answer 1

交错级数，
u(n)=√(n+1)-√n
=1/[√(n+1)+√n]

可以看到
u(n+1)＜u(n)
lim u(n)=0
根据莱布尼兹判别法，
级数收敛。

lim √n·u(n)=1/2≠0
∴∑u(n)不收敛，
∴原级数条件收敛。

追问

怎么看是否绝对收敛

追答

lim √n·u(n)
=lim √n·[√(n+1)-√n]
=lim √n/[√(n+1)+√n]
=lim 1/[√(1+1/n)+1]
=1/2
≠0
根据极限审敛法，
λ=1/2＜1
∴∑u(n)不收敛，
∴原级数不是绝对收敛。

【附注】极限审敛法：
λ≤1
lim n^λ·un=c (c≠0或c=∞)
则正项级数∑un发散。