Question

高等数学 第二类曲线积分对称性问题 曲线积分和重积分对称性质类似 题中被积函数不是关于y 和

高等数学 第二类曲线积分对称性问题 曲线积分和重积分对称性质类似 题中被积函数不是关于y 和x都是偶函数吗 应该是单个积分值乘2 为什么是0？ 求解释

Answer 1

第二类曲线积分实质上就是计算力沿着路径做功。被积函数对应的是力的大小的函数，力的方向由积分曲线的方向决定。现在积分路径是一个高度对称的图形，被积函数也是。如果你在积分曲线某一边上取一点，该点处的被积函数值，与它关于x轴、y轴、原点的对称点处的被积函数值是相等的，这四个点处曲线的方向虽然不同，但是矢量和为0，所以功的总和为0，也就是积分结果为0。
所以是不是被积函数是偶函数不一定就是叠加为2倍，这里还要考虑到路径方向的。

追问

如果是奇函数 其他条件不变 是不是就是2倍了

追答

如果被积函数既是关于x轴的奇函数也是关于y轴的奇函数的话，还按刚才那个思路，取一个点，这个时候这个点关于处的被积函数值与和它关于原点对称的那个点处的被积函数值大小相等，另两个点的被积函数之和它的被积函数之互为相反数。这样的话，刚才的矢量图只是改变了其中一组相对向量的方向，所以结果还是0。
如果被积函数关于其中一个轴的奇函数，关于另一个轴是偶函数的话，改变的相邻向量的方向，这时候结果才是叠加的，才是2倍。
至于有一个方向非奇非偶的，就不能这么判断了，只能计算。

Answer 2

两部分ABC和CBA，他们一个是沿着x轴正向一个是负向（走向相反，相当于调换积分上下限），关于x对称说明他们绝对值相等，所以第一个积分是0；
第二个道理是一样的

追问

如果被积函数是关于x或y的奇函数 那就是2倍了 是因为 L+ (-负向L)

两个负号抵消

是这样吗

追答

是的