Question

一道高中物理运动学问题

Answer 1

设夹角为α，并设AB=l，则AC=l cosα，BC=l sinα
则沿AB的小球的加速度为g，A直接到B所花费的时间t1=√(2l/g)
沿A->C->B的过程中，分为两段
(1)A->C，沿杆方向的加速度为gcosα，到C点所花费的时间t21=√(2AC/gcosα)=√(2l/g)
vc=t21*gcosα=√(2gl) cosα
(2)C->B，沿杆方向的加速度为g sinα，设耗时t22，则运动方程为
vc t22 + g sinα t22²/2=BC
即g t22²/2 + √(2gl) cotα t22 - l = 0
解此方程，取正根，得t22=((1-cosα)/sinα)√(2l/g)=tan(α/2)√(2l/g)
所以t2=t21+t22=(1+tan(α/2))√(2l/g)=(1+tan(α/2))t1

根据题意，1+tan(α/2)=1.5，则tan(α/2)=1/2
故sinα = 2tanα / (1+tan²(α/2))=4/5，是345直角三角形中4的对角
α=53°，选C

Answer 2

过 C 作 CD 垂直于 AB 交 AB 于 D
设 AB 长度 l, 角 BAC 为 θ
AC = l cosθ, BC = l sinθ
AD = l cosθ^2, BD = l sinθ^2

根据动能定理，小球在 C, D 的速率 v1 = v1' = sqrt ( 2glcosθ^2) = cosθ sqrt(2gl)
通过不同路径到达 B 的速率也一样 v2 = v2' = sqrt(2gl)
小球在 AB, AC, CB 段都作匀加速直线运动，时间分别为
T = l/((v0'+v2')/2) = 2l/v2 = sqrt(2l/g)
T1 = 2lcosθ/(v0+v1) = sqrt(2l/g)
T2 = 2lsinθ/(v1+v2) = sqrt(2l/g) sinθ/(cosθ+1)
T1 + T2 = 1.5T
sinθ/(cosθ+1) = 1/2
2sinθ = cosθ+1
4sin(θ/2)cos(θ/2) = 2cos(θ/2)^2
tan(θ/2) = 1/2

如果没有计算器的话, 除了 53度那个看着近似，其他都不像.....