Question

请问一下∫√(sinx-sin³x)dx怎么算，求详细步骤，谢谢！

Answer 1

∫√[sinx-(sinx)^3] dx= (2/3)(sinx)^(3/2) + C。C为常数。

解答过程如下：

∫√[sinx-(sinx)^3] dx

=∫√sinx√（1-sin²x）dx

=∫ cosx √sinx dx

=∫ √sinx dsinx

= (2/3)(sinx)^(3/2) + C

扩展资料：

同角三角函数的基本关系式

倒数关系：tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1；

商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα；

和的关系：sin²α+cos²α=1、1+tan²α=sec²α、1+cot²α=csc²α；

平方关系：sin²α+cos²α=1。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

答：
± (2/3)(sinx)^(3/2) + C
当x∈(2kπ,2kπ+π/2)时取 +
当x∈(2kπ+π/2,2kπ+π)时取 -

∫ √(sinx - sin³x) dx
定义域：x∈(2kπ，2kπ+π)，k∈Z
= ∫ √[sinx(1-sin²x)] dx
= ∫ (sinx)^(1/2)*|cosx| dx
当x∈(2kπ,2kπ+π/2)时，cosx ≥ 0
= ∫ (sinx)^(1/2) * cosx dx
= ∫ (sinx)^(1/2) d(sinx)
= (2/3)(sinx)^(3/2) + C
当x∈(2kπ+π/2,2kπ+π)时，cosx ≤ 0
= ∫ (sinx)^(1/2) * (- cosx) dx
= - ∫ (sinx)^(1/2) d(sinx)
= - (2/3)(sinx)^(3/2) + C

所以∫ √(sinx - sin³x) dx
= ± (2/3)(sinx)^(3/2) + C