Question

f(x)在a,b 二阶可导,且f(a)=f(b)=0 ∫(a,b)f(x)dx=0证明至少存在一点ξ使得f ''(ξ)=f(ξ)

Answer 1

应该由零点定理证明：
1）如果f(a)=f(b)
则ε可以取a或者b；
2）不妨设为f(a)>f(b);
令F（x）=f(x)-[f(a)+f(b)]/2;
于是
F(a)=f(a)-[f(a)+f(b)]/2=[f(a)-f(b)]/2>0;
F(b)=f(b)-[f(a)+f(b)]/2=[f(b)-f(a)]/2<0;
所以存在ε∈（a,b）；使得F(ε)=0;
即f(ε)-[f(a)+f(b)]/2=0；f(ε)=[f(a)+f(b)]/2；
综上
至少存在一点ε∈[a,b],使f(ε)=[f(a)+f(b)]/2

追问

亲，你看错题了