Question

将函数f（x）展开为x的幂级数并求其收敛域

将f（x）=1\(x²-3x+2）。。。括号里是x的平方 展开为x的幂级数，并求其收敛域。。。

展开幂级数我大概会做。。收敛域不会求。。希望要一个完整的详细过程。。谢谢

Answer 1

答：
建议翻翻高数课本，再将这几节看一遍。
f(x)=1/(x-2)-1/(x-1)
=1/(1-x)-1/(2-x)
因为1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=∑(n从0到∞)x^n
接下来讲收敛域。x^n的系数是1，所以limn-∞>|a(n+1)/a(n)|=1
所以收敛半径R=1,接下来讨论在-1,1两点时的收敛性。
x=-1时，1,-1,1,-1...发散
x=1时,1,1,1,1发散。
所以收敛域是(1,1)。
收敛半径定理如下：若|a(n+1)/a(n)|=ρ,则收敛半径是R=1/ρ
特别地：若ρ=0，则R=+∞；若ρ=+∞,则R=0。

回到本题，同理：-1/(2-x)=-1/2*(1/(1-x/2))
=-1/2(1+x/2+x^2/4+x^3/8+...+x^n/2^n+...) = -1/2∑(n从0到+∞)x^n/2^n =∑(n从0到+∞) -x^n/2^(n+1) （-2,2）
所以
f(x)=1/(x²-3x+2)=∑(n从0到+∞) (1-1/2^(n+1))x^n (-1,1)

一定要再好好看看课本，看例题。希望对你有所帮助启发。

Answer 2

1/(x-1)的收敛域（0,1）；1/（x-2）的收敛域（0,2）取交集（0,1）

Answer 3

我这里给出1种复变函数中常用的方法:
f（x）=1\(x²-3x+2）=1/[(x-1.5)^2-0.25]
把(x-1.5)^2=t.
那么可以知道f(t)的一个距离最靠近0的奇点为0.25,所以t的收敛域为绝对号下t<0.25.
(x-1.5)^2=t,带入,最后关于x的收敛域(1,2)