Question

关于复变函数柯西公式的，问题如下图，一个很简洁的问题

Answer 1

你这里复连通柯西定理用的有点问题，没有包含z这个奇点，可以取一个包含z点的内边界l(k+1)，得到一个有k+1个内边界的复连通区域σ',g(ζ)在σ'和l(k+1)围成的区域σ''上是解析的，在σ',σ''及其所有边界上是连续的，在这里用复连通区域柯西定理，结合单连通区域柯西公式证明，可以得到复连通区域的柯西公式。

Answer 2

复连通区域上有柯西积分定理，就是所有边界曲线上的积分之和是0（外边界取逆时针，内边界取顺时针），这与你得到的结论是一致的。上面的柯西公式是怎么来的？

追问

你不知道柯西公式吗？

追答

说的是复连通区域上的柯西公式。

追问

就是说你只知道单连通区域上的吧，复连通区域上的柯西公式是根据单连通区域的柯西公式推出来的。类似于推倒复连通区域上的柯西定理一样，把内外边界曲线都连成一个单连通区域的边界曲线

追答

是吗，确实没见过，不过你写的那个式子应该是错的。
比如复连通区域1＜|z|＜2的边界是外圆L与内圆C，考虑积分∫dz/z，f(z)=1。
在逆时针的L与C上，∫dz/z都是2πi。
当外圆取逆时针，内圆取顺时针时，所以你写的那个式子的右边是1-1＝0，左边是f(0)=1。

追问

0能往里面代吗？你所规定的复连通区域里没有0吧

这个式子是没错的，可以推导，百度百科里也有