Question

用数学归纳法证明詹森(Jensen)不等式

用数学归纳法...

Answer 1

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。 加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 凸函数的概念： 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凸函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。 不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凸函数 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)<=0,那么f(x)是凹函数 至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理） 有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了， 现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 比如 i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1时） iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1x2*...*xn 其中前面两个取f(x)=x^t就可以了 后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

Answer 2

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）
设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
凸函数的概念：
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数
琴生不等式说，
对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n)
如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立
现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。
首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
显然，我们可以查看函数f(x)=x^2
由于
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凸函数
所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式。
从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凸函数
如果f(x)二阶可导，而且f''(x)<=0,那么f(x)是凹函数
至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理）
有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，
现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式
比如
i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t,
(t>1时）
ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t,
(0<t<1时）
iii)
((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1x2*...*xn
其中前面两个取f(x)=x^t就可以了
后面一个取f(x)=log(x)就可以了。

Answer 3

若f为凹函数，即f’’<=0，且有a1+a2+a3+a4+……+an=1成立，则：

f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+……+an*xn)>=a1*f(x1)+a2*f(x2)+……+an*xn

恒成立。

证明：不是一般性，令xi<=x(i+1),

(1)首先证明当n=2时，f[a1*x1+(1-a1)*x2]>=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立

欲证上式成立，即证明[a1+(1-a1) ]*f[a1*x1+(1-a1)*x2] >=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立，移项并合并同类项后上式可变为：

a1*{f[a1*x1+(1-a1)*x2]- f(x1)}>=(1-a1)*{ f(x2)- f[a1*x1+(1-a1)*x2]} （1）

根据罗尔中值定理，有：[f(x)-f(x’)]/(x-x’)=f’(y),x=<y<=x’，因此(1)式可变为：a1*f’(y1)*(a1-1)*(x1-x2)= (1-a1)*f’(y1)*a1*(x2-x1)>=(1-a1)*f’(y2)*a1*(x2-x1),其中y2>=y1。由f’’<=0可得，f’(y1)>=f’(y2)，因此（1）式成立。（注：麦克劳林展开只有在（x2-x1)趋于零时成立，因此，此处不能使用麦克劳林展开公式）。

（2）证明n=2^k(k为正整数)时命题成立，首先证明n=4时原命题成立，则由（1）可得：

（a1+a2）*f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]>=(a1+a2)*[a1/(a1+a2)f(x1)+a2/(a1+a2)*f(x2)] (2)

（a3+a4）*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4]>=(a3+a4)*[a3/(a3+a4)f(x3)+a4/(a3+a4)*f(x4)] (3)

将上述（2）式与（3）式同时除以（a1+a2+a3+a4），再次利用（1）式可得：

f[a1/(a1+a2+a3+a4)*x1+a2/( a1+a2+a3+a4)*x2+a3/( a1+a2+a3+a4)*x3+ a4/( a1+a2+a3+a4)*x4]

>=(a1+a2)/(a1+a2+a3+a4)* f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]+

（a3+a4）/(a1+a2+a3+a4)*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4] (4)

由于a1+a2+a3+a4=1，因此（4）式左边部分即为f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4)，右边部分即为a1*f(x1)+a2*f(x2)+a3*f(x3)+a4*f(x4)，n=4时，命题得证。同理可从最底层开始运用公式（1）证明n=2^k(k<>1且k<>2)的情形依然成立。

（3）当n<>2^k时，可将ai*xi分成m个部分， 即m个ai/m*xi之和，使得n+(m-1)=2^k，再利用上式便可直接得到原命题。

（4）当ai均趋向于0时，取其极限形式，便可证明f[E(x)]>=E[f(x)]，将f函数符号改为U符号，即得微观经济学中冯诺依曼期望效用的一个不等式。

Answer 4

琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）
设f(x)为凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
凸函数的概念：
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。
【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。
同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数
琴生不等式说，
对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n)
如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立
现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。
首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论