e的x次方减一分之一的不定积分
令z = 1 + e^x，x = ln(z - 1)，dx = dz/(z - 1)
∫ 1/(1 + e^x)² dx
= ∫ 1/z² * dz/(z - 1)
= ∫ [z² - (z² - 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ∫ dz/(z - 1) - ∫ [(z - 1)(z + 1)]/[z²(z - 1)] dz
= ln|z - 1| - ∫ (z + 1)/z² dz
= ln|z - 1| - ∫ (1/z + 1/z²) dz
= ln|z - 1| - ln|z| + 1/z + C
= ln|e^x/(1 + e^x)| + 1/(1 + e^x) + C
= 1/(1 + e^x) - ln|1 + e^(- x)| + C
拓展资料：
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
具体回答如图：
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
扩展资料：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
参考资料来源：百度百科——不定积分
您好，解题过程如下图所示。
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F，即F ′ = f。 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
拓展资料：
不定积分常用公式：
参考资料：不定积分_百度百科
解答过程如下：
原式=∫1/（e^x-1）dx-∫dx
=∫e^x/（e^x-1）dx-x
=∫1/（e^x-1）d（e^x-1）-x
=ln（e^x-1）-x+C（C为常数）
自然指数e，为自然对数的底数，有时亦称之为欧拉数（Euler's Number），是一个无限不循环小数，其值约为：2.71828182845904523536 。
扩展资料：
不定积分求法：
1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。
2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。
