Question

曲线r=2½sinθ与r²=cos2θ所围成图形面积

Answer 1

曲线r=2½sinθ与r²=cos2θ所围成图形面积为：pi/6+(1-√3)/2。

解：本题利用了定积分的性质求解。

因为r=√2sinθ表示圆，且圆心在点(√2/2,pi/2)处，半径为√2/2。r^2=cos2θ,表示双纽线。

又有极角θ范围是[-pi,-3pi/4],[-pi/4,pi/4],[3pi/4,pi]

再联立两方程,求得交点：(√2/2,pi/6),(√2/2,5pi/6)

定积分计算,被积表达式为1/2*(r(θ)^2)d

由于图形对称性,仅计算第一象限面积即可，

所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4

所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2。

扩展资料：

“定积分”的性质有：

性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。

性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。

性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。

性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。

参考资料来源：百度百科- 定积分

Answer 2

r=√2sinθ表示圆
圆心在点(√2/2,pi/2)处
半径为√2/2
r^2=cos2θ,表示双纽线
极角θ范围是[-pi,-3pi/4],[-pi/4,pi/4],[3pi/4,pi]
联立两方程,求得交点：(√2/2,pi/6),(√2/2,5pi/6)
定积分计算,被积表达式为1/2*(r(θ)^2)dθ
其中当θ在[0,pi/6]以及[5pi/6,pi]内时,r=r(θ)=√2sinθ；
当θ在[pi/6,pi/4]以及[3pi/4,5pi/6]内时,r=r(θ)=√ (cos2θ)
积分区间[0,pi/4]和[3pi/4,pi]
由于图形对称性,仅计算第一象限面积即可
所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4
所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

曲线r=2½sinθ与r²=cos2θ所围成图形面积为:pi/6+(1-√3)/2。 解:本题利用了定积分的性质求解。

Answer 5

r=√2sinθ表示圆
圆心在点(√2/2,pi/2)处
半径为√2/2
r^2=cos2θ,表示双纽线
极角θ范围是[-pi,-3pi/4],[-pi/4,pi/4],[3pi/4,pi]
联立两方程,求得交点：(√2/2,pi/6),(√2/2,5pi/6)
定积分计算,被积表达式为1/2*(r(θ)^2)dθ
其中当θ在[0,pi/6]以及[5pi/6,pi]内时,r=r(θ)=√2sinθ；
当θ在[pi/6,pi/4]以及[3pi/4,5pi/6]内时,r=r(θ)=√ (cos2θ)
积分区间[0,pi/4]和[3pi/4,pi]
由于图形对称性,仅计算第一象限面积即可
所围成图形在第一象限面积为pi/12+(1-√3)/4
所以所求图形面积为pi/6+(1-√3)/2