Question

设平面图形由y=x^2和直线y=x,y=2x 所围成，求此图形绕x轴旋转一周所成的立

设平面图形由y=x^2和直线y=x,y=2x 所围成，求此图形绕x轴旋转一周所成的立体的体积Vx

Answer 1

y = 2x - x² = 1 - (x - 1)²
此为开口向下,顶点为(1,1)的抛物线; 所需考虑的是其与轴间的部分.
图形绕y轴旋转,以y为自变量更方便.
在y处(0 < y < 1),x值有两个:
y = 1 - (x - 1)²
x = 1±√(1 - y)
旋转体在y处的截面为圆环,内外径分别为r =1-√(1 - y),R = 1+√(1 - y)
截面积 = πR² - πr² = π[1 +√(1 - y)]² - π[1 - √(1 - y)]²
= 4π√(1 - y)
V = ∫¹₀4π√(1 - y)dy
= (-8π/3)(1-y)³/² |¹₀
= 0 + 8π/3
= 8π/3