Question

已知函数f(x)=|x-a|+2|x+b|(a＞0b＞0)的最小值为1，求a+b的值 若m≤1/a+2/b恒

已知函数f(x)=|x-a|+2|x+b|(a＞0b＞0)的最小值为1，求a+b的值 若m≤1/a+2/b恒成立，求m实数最大的值？

Answer 1

分析:分段讨论,不要怕麻烦.
当x>=a时,x-a>=0,x+b>0.于是f(x)=x-a+2(x+b)=3x-a+2b.最小值3a-a+2b=2a+2b (当x=a时取到);当x<=-b时,x-a<=-b-a<0, x+b<=0.于是f(x)=a-x-2(x+b)=a-2b-3x.最小值a-2b-3*(-b)=a+b.当-b=<x<=a时,x-a<0, x+b>0. f(x)=a-x+2(x+b)=a+2b+x,当x=-b时取最小值a+b.综合分析,在实数范围内,f(x)的最小值是a+b，当x=-b时取到.于是a+b=1.

在a>0, b>0且a+b=1的限定下,求m的最大值等价于求1/a+2/b的最小值.这道题有很多思路,一下仅提供一种比较"神奇"的方法.
(1/a+2/b)*1=(1/a+2/b)*(a+b)=1+2+2a/b+b/a=3+2a/b+b/a>=3+2*Sqrt[2a/b*b/a]=3+2*Sqrt[2].最后用到了均值不等式.等号成立当且仅当2a/b=b/a,即a*Sqrt[2]=b.联系a+b=1,得到a=Sqrt[2]-1,b=2-Sqrt[2].于是m的最大值是 3+2*Sqrt[2].