二阶导数大于零,为什么可以判断原函数有最小值

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小肥肥2
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必须还要加一条,一阶导数为0才可以判断原函数有最小值。

也就是说一阶导数为0,二阶导数大于0,这样才能说是极小值。

设f(x)在x0点处的一阶导数f'(x0)=0,二阶导数f''(x0)>0。

因为f''(x0)>0,说明f'(x)在x0点附近是单调递增的。

所以当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,所以f(x)是单调递减的。

当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,所以f(x)是单调递增的。

所以f(x)在x0附近是左边单调递减,右边单调递增。所以x0在这个区域内是最小值。所以x0是极小值。

扩展资料:

二阶导数的性质:

(1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。

几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

(2)判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点

(3)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,

(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;

(2)若在(a,b)内f(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

参考资料来源:百度百科--二阶导数

参考资料来源:百度百科--原函数

蔷祀
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必须还要加一条,一阶导数为0才可以判断原函数有最小值。

也就是说一阶导数为0,二阶导数大于0,这样才能说是极小值。

设f(x)在x0点处的一阶导数f'(x0)=0,二阶导数f''(x0)>0,

因为f''(x0)>0,说明f'(x)在x0点附近是单调递增的。

所以当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,所以f(x)是单调递减的。

当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,所以f(x)是单调递增的。

所以f(x)在x0附近是左边单调递减,右边单调递增。所以x0在这个区域内是最小值。所以x0是极小值。

扩展资料

(1)切线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化率。

(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。 

这里以物理学中的瞬时加速度为例: 

根据定义有

可如果加速度并不是恒定的,某点的加速度表达式就为:

a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 所以就有:

a=dv/dt=d²x/dt² 即元位移对时间的二阶导数

将这种思想应用到函数中 即是数学所谓的二阶导数

f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)

f''(x)=d²y/dx²=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)

参考资料二阶导数_百度百科

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徐临祥
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2019-12-21 · 醉心答题,欢迎关注
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必须还要加一条,一阶导数为0才可以判断原函数有最小值。

也就是说一阶导数为0,二阶导数大于0,这样才能说是极小值。

设f(x)在x0点处的一阶导数f'(x0)=0,二阶导数f''(x0)>0。

因为f''(x0)>0,说明f'(x)在x0点附近是单调递增的。

所以当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,所以f(x)是单调递减的。

当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,所以f(x)是单调递增的。

所以f(x)在x0附近是左边单调递减,右边单调递增。所以x0在这个区域内是最小值。所以x0是极小值。
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需邡而窗尚与曾1j
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匿名用户
2017-04-17
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必须还要加一条,一阶导数为0
也就是说一阶导数为0,二阶导数大于0,这样才能说是极小值。
设f(x)在x0点处的一阶导数f'(x0)=0,二阶导数f''(x0)>0
因为f''(x0)>0,说明f'(x)在x0点附近是单调递增的。
所以当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,所以f(x)是单调递减的。
当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,所以f(x)是单调递增的。
所以f(x)在x0附近是左边单调递减,右边单调递增。所以x0在这个区域内是最小值。所以x0是极小值。
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