Question

三角形问题

Answer 1

（1）解：因为AD=DC
角ADB=角EDC
BD=DE
所以三角形ADB全等三角形EDC (SAS)
所以角DAB=角ACB
因为AD=DC
所以角DAC=角ACB
所以角DAB=角DAC=角ACB
因为角ACB=40度
所以角DAB=角DAC=40度
因为角BAC=角DAB+角DAC
所以角BAC=80度
（2）证明：连接DH， DF 设AD与BE相交于点O
因为BD=DE
所以三角形BDE是等腰三角形
因为F是BE的中点
所以DF是等腰三角形BDE的中线，垂线
所以角DFE=90度
角DBE=角DEB
因为角ADB=角DAC+角ACB
角DAC=角ACB (已证)
所以角ADB=2角ACB
因为角EDC=角DBE+角DEB=2角DBE
因为角ADB=角EDC
所以角DBE=角ACB
因为角ACB=角DAB (已证）
所以角DAB=角DBE
因为角ABD=角ABE+角DBE
角BOD=角ABE+角DAB
所以角ABD=角BOD
因为三角形ABD全等三角形EDC (已证）
所以角ABD=角CED
所以角BOD=角CED
因为FG垂直AD于G并延长交AC于H
所以角FGO=90度
因为角FGO+角OFG+角BOD=180度
所以角BOD+角OFG=90度
因为角DFE=角DFH+角OFG=90度
所以角BOD=角DFH
所以角DFH=角CED
所以D ,F ,E ,H四点共圆
所以角DFE=角DHC=90度
所以DH垂直AC
因为AD=DC
所以三角形ADC是等腰三角形
所以DH是等腰三角形ADC的垂线，中线
所以H是AC的中点
所以AH=CH

Answer 2

1)∵BD=DE ,∠ADB=∠EDC ,AD=DC
∴△ABD≌△CDE(SAS)
∴∠BAD=∠CDE,
∵AD=DC
∴∠DAE=∠CDE,
∵∠BAD=∠CDE,∠DAE=∠CDE
∴∠BAD=∠CDE=40
∴∠BAC=∠BAD+∠CDE=2∠CDE=2840=80
∴∠BAC=80
2)延长GF交AB于点M作EN//AB交HF于点N,
∵∠BAD=∠CDE ,FG⊥AD,
∴△AMH是等腰三角形
∴AM=AH ,∠AMG=∠AHG
又EN//AB
∴∠BMF=∠FEN ,∠AMG=∠ENH ,
∵∠BMF=∠FEN ,∠BFM=∠EFN,BF=EF
∴△BMF≌△EFN(AAS)
∴BM=EN,
∵∠AMG=∠AHG,∠AMG=∠ENH,
∴∠AHG=∠ENH
∴EH=EN
又AB=EC
∵AM+BM=EH+CH ,AM=AH ,BM=EN
∴AH=EN