Question

大一高数求解

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Answer 1

解：分享一种解法。
设I(θ)=∫(0,1)arctan(θx)dx/[x√(1-x^2)]，则I(0)=0，I(1)=∫(0,1)arctanxdx/[x√(1-x^2)]。
由I(θ)两边对θ求导，有I'(θ)=∫(0,1)dx/{[1+(θx)^2]√(1-x^2)}。再设x=sinα，则I'(θ)=∫(0,π/2)dα/[1+(θsinα)^2]。
而∫(0,π/2)dα/[1+(θsinα)^2]=∫(0,π/2)d(tanα)/[1+(1+θ^2)(tanα)^2]=[1/√(1+θ^2)]arctan[√(1+θ^2)tanα]丨(α=0,π/2)=(π/2)/√(1+θ^2)，
∴I'(θ)=(π/2)/√(1+θ^2)。∴I(1)=I(1)-I(0)=∫(0,1)I'(θ)dθ=(π/2)∫(0,1)dθ/√(1+θ^2)=(π/2)ln丨θ+√(1+θ^2)丨丨(θ=0,1)=(π/2)ln(1+√2)。
故，原式=I(1)=(π/2)ln(1+√2)。供参考。