Question

为什么行列式等于特征值这样相乘？是一种性质吗？

Answer 1

是因为特征多项式是一个一元n次多项式，根据一元N次多项式的根（特征值）与系数关系，得出来的。

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵,而行列式的值不变,对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

求特征值，可以把 λ 看作未知数，行列式可以化作一个一元N次方程。A的特征值 λ1，λ2，···，λn就是这个一元n次方程的解。并且根据代数基本定理，在复数范围内，这个一元n次方程一定有解。

设矩阵A的特征多项式为

f(t) = det (tI - A) //det

表示行列式,I表示单位矩阵,

t是数将f(t)展开,按t的降幂排列：

（顺便插一句,f(t)=0的解就是特征值~）

f(t) = a[n] * t^n + a[n-1] * t^(n-1) ...

扩展资料

行列式定义的连加运算中，每一项可以这么理解：

行列式每一行都选出一个数字进行连乘，并且这些选出的数不能是同一列的。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii)。

然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含 n-1 个 (λ-aii)。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项，那么假设没提供 (λ-aii) 的那行是第k行。

第k行必须从别的列上取一个数，但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上。这导致第k行只能去第k列取数，而k行k列显然是(λ-akk)，存在矛盾。

所以次数第二高的项也在（-1）τ(1,2,···,n)П(λ-aii) 中。

Answer 2

这就是基本性质啊，对角线上的特征值乘积就是对应的行列式的值。要不然叫什么特征值？这就是特征值的来历。

追问

特征值都是在对角线上的？

追答

你没学过？

Answer 3

是因为特征多项式是一个一元n次多项式，根据一元N次多项式的根（特征值）与系数关系，得出来的。