Question

就第二问，谢谢！

Answer 1

f'(x) = lnx + (x - a)/x = lnx - a/x + 1
g(x) = x²/2 + ax - lnx + a/x - 1
g'(x) = x + a - 1/x - a/x² = [x²(x + a) - (x + a)]/x² = (x + 1)(x - 1)(x + a)/x²
定义域x > 0, x + 1 > 0, 分子x² > 0, 只需考虑x - 1和x + a的符号
(1) a ≥ 0
在定义域内的x使x + a > 0, 只需考虑x - 1的符号。
0 < x < 1: x - 1 < 0, g'(x) < 0, 减函数
x > 1: x - 1 > 0, g'(x) > 0, 增函数
图为a = 0和2时的情形
(2) -1 < a < 0
x + a = 0, x = -a介于0和1之间
0 < x < -a: x + a < 0, x - 1 < 0, g'(x) > 0, 增函数
-a < x < 1: x + a > 0, x - 1 < 0, g'(x) < 0, 减函数
x > 0: x+a和x-1均为正, g'(x) > 0, 增函数
图为a = -1/2时的情形