Question

一道积分题，求过程，谢老师

Answer 1

应用m(b-a)≤∫[a积到b] f(x)dx≤M(b-a) 这条定积分性质
PS：m,M分别为f(x)在区间[a,b]上的最小、最大值
设f(x)=sinx/x
f'(x)=(cosx·x-sinx)/x²
令h(x)=xcosx-sinx
h'(x)=cosx-xsinx-cosx
=-xsinx
因为x∈[π/4，π/2]
所以明显h'(x)＜0
即h(x)在[π/4，π/2]单调递减
所以h(x)≤h(π/4)=(√2/2) (π/4 -1)＜0
即f'(x)=h(x)/x²＜0
所以f(x)在[π/4，π/2]上单调递减
所以x=π/4时，有f(x)极大值=2√2/π
x=π/2时，有f(x)极小值=2/π
∴(2/π)×(π/2-π/4)＜∫f(x)dx＜(2√2/π)×(π/2-π/4)
1/2＜∫f(x)dx ＜√2/2
∴ 积分范围为[1/2,√2/2]
答案选B

追问

非常感谢！
前面都懂了，到这一步没明白
(2/π)×(π/2-π/4)＜∫f(x)dx＜(2√2/π)×(π/2-π/4)
为什么函数f(x)的极小值是2/π，积分的极小值就是(2/π)×(π/2-π/4)

追答

整个解题第一行

应用的……定积分性质