Question

线性代数 求方程组通解

线性代数 求方程组通解图二答案中那三个基础解系怎么求出来的啊 求详细过程

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Answer 1

对隐式线性方程组, 注意以下几点:
1. 确定系数矩阵的秩r(A)
由此得 Ax=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A).
2. Ax=b 的解的线性组合仍是其解的充分必要条件是 组合系数的和等于1.
由此得特解
3. Ax=b 的解的差是Ax=0的解
由此得基础解系
此题:
1. r(A)=3 是已知, 四元线性方程组告诉我们 未知量的个数n=4.
所以 Ax=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A) = 4-3=1.
2. 特解β1= (2,0,0,2)^T 已给
3. 需再找一个特解,
已知 β2+β3=(0,2,2,0)T,
由上面说明中的(2) 知 1/2 (β2+β3) 也是Ax=b的解
故 β1- 1/2 * (β2+β3)也是 Ax=0 的解.
若此解非零, 则是一个基础解系 (因为Ax=0 的基础解系所含向量的个数是1)
PS. 基础解系也可以这样找:
(β2+β3)-2β1 = (-4,2,2,-4)^T ≠ 0.