Question

二重积分问题 需要给出步骤能理解 谢谢

就我已经想了很长时间没有想出来，希望能得到答案吧……

Answer 1

解：分享一种解法解法【为表述“简洁”一些，计算过程中，设a^2=1+(cosx)^2、b^2=1+a^2】。设f(x,y)=1/[1+(sinx)^2+(siny)^2]=1/[a^2+(siny)^2]。
∵D={(x,y)丨-π≤x≤0，-x-π≤y≤x+π}∪{(x,y)丨0≤x≤π，x-π≤y≤π-x}，∴原式=∫(-π,0)dx∫(-x-π,x+π)f(x,y)dy+∫(0,π)dx∫(x-π,π-x)f(x,y)dy。

又，∵f(x,y)dy=dy/[a^2+(siny)^2]=d(tany)/[a^2+(b^2)(tany)^2]=[1/(ab)]d[arctan(btany/a)]，∴∫(-x-π,x+π)f(x,y)dy=[2/(ab)]arctan(btanx/a)。同理，∫(x-π,π-x)f(x,y)dy=-[2/(ab)]arctan(btanx/a)]。
∴原式=∫(-π,0)[2/(ab)]arctan(btanx/a)dx-∫(0,π)[2/(ab)]arctan(btanx/a)dx。
对前一个积分设x=-t，变换后，原式=-∫(0,π)[4/(ab)]arctan(btanx/a)dx。再将积分区间分拆为[0,π/2]∪[π/2,π]，[π/2,π]区间的积分设x=π-s进行变化，
∴原式=0。供参考。