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1、利用正项级数收敛定义
原式=Σ√(n+1)-√n
部分和Sn=√2-1+√3-√2+...+√(n+1)-√n=√(n+1)-1
因为{Sn}无界,所以原级数发散
2、利用比较判别法
n/(n+1)!1/e (n->∞)
所以原级数收敛
原式=Σ√(n+1)-√n
部分和Sn=√2-1+√3-√2+...+√(n+1)-√n=√(n+1)-1
因为{Sn}无界,所以原级数发散
2、利用比较判别法
n/(n+1)!1/e (n->∞)
所以原级数收敛
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单调递减有下界 收敛
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分享一种解法。
n→∞时，π/n→0，∴cos(π/n)~1-(1/2)(π/n)²。∴ln[cos(π/n)]~ln[1-(1/2)(π/n)²]~-(1/2)(π/n)²。∴∑ln[cos(π/n)]与级数∑[-(1/2)(π/n)²]有相同的敛散性。
而，∑[-(1/2)(π/n)²]=(-π²/2)∑1/n²，收敛。∴级数∑ln[cos(π/n)]收敛。
供参考。
n→∞时，π/n→0，∴cos(π/n)~1-(1/2)(π/n)²。∴ln[cos(π/n)]~ln[1-(1/2)(π/n)²]~-(1/2)(π/n)²。∴∑ln[cos(π/n)]与级数∑[-(1/2)(π/n)²]有相同的敛散性。
而，∑[-(1/2)(π/n)²]=(-π²/2)∑1/n²，收敛。∴级数∑ln[cos(π/n)]收敛。
供参考。
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