Question

证明A同或B同或C与A异或B异或C相等

Answer 1

即证明结合律成立。

A⊕B
?(A-B)∪(B-A) ①

所以
(A⊕B)-C
?((A-B)∪(B-A)-C) 根据①
?(A-B-C)∪(B-A-C) ②

C-(A⊕B)
?C-(A-B)∪(B-A) 根据①
?C-(A-B)-(B-A)
?C∩(?A∪B)∩(?B∪A)
?((C∩?A)∪(C∩B))∩(?B∪A)
?((C∩?A)∪(C∩B))∩?B)∪(((C∩?A)∪(C∩B))∩A)
?(C∩?A∩?B)∪(C∩B∩A)
?(C-A-B)∪(A∩B∩C) ③

所以
(A⊕B)⊕C
?((A⊕B)-C)∪(C-(A⊕B)) 根据①做代换
?(A-B-C)∪(B-A-C)∪(C-A-B)∪(A∩B∩C)

而
A⊕(B⊕C)
?(A-B⊕C)∪(B⊕C-A) 根据①做代换
?(A-B-C)∪(A∩B∩C)∪(?A∩B-C)∪(C-A-B) 分别根据③②做代换

显然两式等价
即（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）结合律成立

Answer 2

注：下列式中用@表示同或，用*(X)表示非X
A⊕B⊕C=(A⊕B)⊕C
=(A⊕B)*(C)+*(A⊕B)C 【⊕定义】
=*(A@B)*C+(A@B)C 【⊕与@互反】
=(A@B)@C 【@定义】
=A@B@C