学完泛函分析可以做哪些事情？
泛函分析在数学的许多分支中都很有用。例如，在偏微分方程中，证明了二阶线性椭圆方程弱解的存在性，利用泛函分析中的Lax-Milgram定理可以很容易地得出结论。
本科学习主要包括:巴拿赫空间和希尔伯特空间几何、初始广义函数理论、巴拿赫空间和希尔伯特空间等。内容有非常深刻的物理和应用数学背景，这部分功能分析基础内容几乎完全是抽象表达的具体例子。
（1）压缩图像抽象的原理全部包含“小于1的李普希茨常数”存在的问题，如Picard存在唯一性定理的微分方程理论。
(2)Hahn - Banach定理是线性代数基础扩展定理的一个扩展，它来自于凸集的分离
(3)希尔伯特空间的Riesz表示定理和Lax - Milgram定理，直接来自于弱解问题存在的偏微分方程。
(4)线性积分方程特征值问题的紧算子Riesz Fredholm理论。
对大学生的功能分析，是抽象、简明集中的数学结构中的具体问题。大多数大学生的功能分析解决问题可以使用已经发展成熟，其余的问题，或者很难做到，或者有很强的综合性。
一般而言，本科课程学习性质的功能分析是确定的，但仅为后续研究奠定了基础。本课程的目的是使学生熟悉抽象语言的基本分析,并能解决简单问题的研究,距离自己是远离真正的研究。必须学习非线性泛函分析，更接近于研究。
泛函分析是数学系统里很重要的一门学科，也是对后面的一系列知识架构非常重要的。
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
泛函分析在现代数学几乎各个领域都很有用。我是做算子代数的，这个来源于量子理论。我们几乎所有的工具都来源于泛函分析。而且可以学习量子力学，也是非常有用的工具。
举例的话比如紧算子的Riesz-Fredholm理论来自于线性积分方程的特征值问题，线性算子微扰论，反函数定理等等。
一般而言，对某一特定的本科课程学习性质的功能分析，但仅为后续研究奠定了基础。本课程的目的是使学生熟悉抽象语言的基本分析,并能解决简单问题的研究(例如,一些方程的解的存在性和唯一性方面的简单),距离自己是远离真正的研究。必须学习非线性功能分析，更接近于学习。
所以一门学科学好了能做的事有很多，跟其他的知识相串联，你会发现每一环都缺一不可。
