Question

高等数学二重积分

高等数学二重积分按照定义来说这个积分的值是半圆的面积，但如果计算积分的话，积分限又没有圆周率，为什么会这样

Answer 1

这个二重积分没有问题。
注意到√(1-x²)的不定积分∫√(1-x²)dx=x·√(1-x²)/2+arcsin(x)/2
如果改为[-1,1]的定积分， ∫[-1,1] √(1-x²)dx 的值就是
arcsin(1)/2-arcsin(-1)/2 = (π/2)/2-(-π/2)/2 = π/2
与半圆的面积相同。
相信你也发现了 ，∫[-1,1] √(1-x²)dx 其实就是半圆的面积。
至于圆周率π是怎么出现的，是因为积分求值后出现了反正弦函数arcsin，而arcsin就可以带来π。

Answer 2

积分后会出现 π：
I = ∫<-1, 1>dx∫<0, √(1-x^2)dy = ∫<-1, 1>√(1-x^2)dx
= 2 ∫<0, 1>√(1-x^2)dx, （令 x = sint）
= 2∫<0, π/2>(cost)^2dt = ∫<0, π/2>(1+cos2t)dt
= [t +(1/2)sin2t]<0, π/2> = π/2

Answer 3

我来看一下