Question

具体解答过程

Answer 1

解：①先求出X、Y的边缘密度分布函数。按照定义和题设条件，fX(x)=∫(x,1)f(x,y)dy=4x(1-x²)，x∈(0,1)、fX(x)=0，x∉(0,1)。fY(y)=∫(0,x)f(x,y)dx=4y³，y∈(0,1)、fY(y)=0，y∉(0,1)。
②求ξ、η的特征值。E(ξ)=∫(0,1)xfX(x)dx=4∫(0,1)x²(1-x²)dx=8/15，E(ξ²)=∫(0,1)x²fX(x)dx=1/3，∴D(ξ)=E(ξ²)-[E(ξ)]²=1/3-(8/15)²=11/225。
同理，E(η)=4/5，D(η)=2/75。E(ξη)=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=8∫(0,1)x²dx∫(0,x)y²dy=(8/3)∫(0,1)x^5dx=4/9。
③求结果。Cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=4/225；ρξη=Cov(ξ,η)/[D(ξ)D(η)]^(1/2)=4/(66)^(1/2),
D(ξ-2η)=D(ξ)+D(-2η)-2Cov(ξ,-2η)=D(ξ)+4D(η)+4Cov(ξ,η)=17/75。
供参考。