Question

不定积分推导公式

图中积分表中直接引用的公式，但我实际用三角换元的方法推导过程发现ln里面多一个1/a是怎么回事？还是我推导过程有误？见下图





Answer 1

答：x^(t+1)/(t+1) + C 假设x是变量，n∈R. 这要由导数开始推导：考虑函数y = x? 则y' = nx??1 因为 (x?)'_x = lim(Δx->0) [ (x+Δx)? - x? ]/Δx，分子运用二项式定理展开 = lim(Δx->0) [ (x?+nx??1Δx+O(Δx)) - x? ]/Δx = lim(Δx->0) (nx??1Δx+O(Δx))/Δx = lim(Δx->0) [ nx??1+O(Δx) ]，O(Δx)为比Δx更高阶的项 = nx??1 把n替换为n+1 即(x??1)'_x = (n+1)x? 即[x??1/(n+1)]'_x = x? 所以两边取不定积分，有 ∫ x? dx = x??1/(n+1) + C，C为任意常数项

Answer 2

那不就是个常数吗，放在后面的C里就行了。