请问高数这个不等式用函数单调性怎么证明？求详细过程 20
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对于任意的x＞0，取
函数
f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
函数
f(t)＝ln(1＋t)，t∈[0，x]。
则f(t)在[0，x]上连续，在(0，x)内可导，所以存在一点ξ∈(0，x)，使得
[f(x)－f(0)]/x＝ln(1+x)/x＝f'(ξ)＝1/(1＋ξ)
因为 0＜ξ＜x，所以 1/(1＋x)＜1/(1＋ξ)＜1，
所以 1/(1＋x)＜ln(1+x)/x＜1
此即 x/(1＋x) ＜ ln(1+x) ＜x
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