Question

求曲线y=lnx上曲率最大的点(详细过程)

Answer 1

曲率K=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣

y'=1/x；y''=-1/x²；故K=(1/x²)/(1+1/x²)^(3/2)=x/√(x²+1)³；

令dK/dx=[√(x²+1)³-3x²√(x²+1)]/(x²+1)³=[(x²+1)-3x²]/√(x²+1)⁵=(1-2x²)/√(x²+1)⁵=0

得x²=1/2,故得驻点x₁=-1/√2；x₂=1/√2；x₂为极大点；y'(1/√2)=√2；y''(1/√2)=-2；

于是得Kmax=2/[(1+2)^(3/2)=2/3^(3/2)=2/(3√3)=(2/9)√3

扩展资料：

按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：

1、R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的。

2、R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。

3、说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。

如果动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只须把这些几何条件转化成含有变量的数值表达式，化简成曲线方程。

当动点符合某一基本轨迹的定义（圆、椭圆、直线、双曲线、抛物线）时我们可以根据定义，用待定系数法求出系数，求出动点的轨迹方程。

曲率圆具有以下性质：

1、曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率；

2、在点M邻近与曲线有相同的凹向；

因此，在实际工程设计问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。

在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。

按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。

参考资料来源：百度百科——曲线

Answer 2

曲率K=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣
y'=1/x；y''=-1/x²；故K=(1/x²)/(1+1/x²)^(3/2)=x/√(x²+1)³；
令dK/dx=[√(x²+1)³-3x²√(x²+1)]/(x²+1)³=[(x²+1)-3x²]/√(x²+1)⁵=(1-2x²)/√(x²+1)⁵=0
得x²=1/2,故得驻点x₁=-1/√2；x₂=1/√2；x₂为极大点；y'(1/√2)=√2；y''(1/√2)=-2；
于是得Kmax=2/[(1+2)^(3/2)=2/3^(3/2)=2/(3√3)=(2/9)√3