Question

求一道极限问题2

x² * ((1 + 1/(1 + x))^(x + 1) - (1 + 1/x)^x)
x -> 无穷

Answer 1

当a.b都趋于零时，
e^a-e^b=e^b(e^(a-b)-1)~1*(a-b)
∴lim=lim2x²((x+1)ln(1+1/(x+1))-xln(1+1/x))
令u=1/x趋于零
lim=lim2((1/u+1)ln(1+u/(1+u))-ln(1+u)/u)/u²
=lim2((u+1)(ln(1+2u)-ln(1+u))-ln(1+u))/u³
=lim2((u+1)ln(1+2u)-(u+2)ln(1+u))/u³
=lim2(ln(1+2u)+2(u+1)/(1+2u)-ln(1+u)-(u+2)/(u+1))/3u²
=2/3lim(ln(1+2u)-ln(1+u)+1/(1+2u)-1/(u+1))/u²
=2/3lim(2/(1+2u)-1/(1+u)-2/(1+2u)²+1/(u+1)²)/2u
=1/3lim(4u/(1+2u)²-u/(1+u)²)/u
=1/3lim(4(1+u)²-(1+2u)²)/(1+2u)²(1+u)²
=1/3lim(4u+3)/1*1
=1

追答

汗，xln(1+1/x)~1，a.b趋于1，应该是等价于e(a-b)，最终结果要*e，lim=e

追问

答案是e/2

追答

那就是你题目抄错了，分子是x²而不是2x²。

我核对了一遍又一遍，那个2x²的2是题号或者你多打了吧？

追问

哦，是的

第一步就没看懂~

追答

第一步是解释分子的等价代换，分子可变形为e^a-e^b型，其中ab都趋于1，因为e^(a-b)-1~a-b，所以分子等价与e(a-b)

追问

明白了

Answer 2

1

Answer 3

计算量比较大啊

以上，请采纳。

追问

答案是e/2

追答

我认为我做的没有错，过程结果都是正确的。
如果你觉得我的过程没问题，那就采纳；如果觉得书上的答案是正确的，那就不采纳。没关系的。

追问

第一次洛必达法则，后面为什么是-t呢，我按着你的思路算还有个分母

追答

t趋于0的时候，那个分母趋于1.