Question

一道高数求极限题

一道高数求极限题这个题不能在指数上用等替吗？求解释，附图一张

Answer 1

如果只有一个变量，可以的。多个变量不一定

追问

麻烦看一下这个，为什么我左边写的不对

我想的是指数上ln（1+1/x）也可以等替呀，

追答

等价替换是泰勒公式的一种化简，用前几项，在不影响结果的情况下代替整体，用1/x代替ln（1+1/x），只是用展开时的第一项来代替结果，严格意义上讲是一种近似。分子分母都有未知数时，等价替换就不一定好用
你要将分母中的复杂公式用泰勒展开，展到与分子齐次（这里可以再化简一下，做成以e为底的lim指数运算）。你如果自己泰勒做一下就会看到，展开式的第二项对结果有影响。也就是我回答说的为什么不一定。
这段话只是我个人理解，纯手打，不喜勿喷，有问题可以一起讨论

Answer 2

不是不行，而是在这里，你犯规了，你用等价替换的时候，分子在趋近∞的时候，难道会停下来等你吗？显然是求极限不同步问题所导致的。所以正确的做法应该是取对数，然后利用对数除法法则去做。取对数只是改变样子，并没有在求极限，所以可行。

追问

还是不太懂，刚接触，我感觉等替，分子与分母不同步无所谓吧？之前的题，有的只有分母或者只有分子等替的也可以

追答

极限的性质，有一个同时，趋向过程中的同时性，比如赛跑，400米，我先跑100米，你不要动，你觉得公平吗？做这个题也是一样，你用了重要极限，相当于偷跑了，难道分子就甘心等吗？？？

追问

那有时候在求极限的时候简化式子，也会对分子或者分母进行部分化简

追答

部分化简？？？那样换样子，并没有求极限。。。你用了重要极限就是相当于求极限。化简就是换个样子，并没有求极限，概念不同

追问

哦哦，好的，谢谢

但我写的第一步，分母用的是对数恒等式，然后用等替，又不是重要极限呀，为啥不行呢