Question

这道题是曲面积分吗？怎么算？

这道题是曲面积分吗？怎么算？求过程

Answer 1

r是向量的长度，即为点(x,y,z)离原点的距离。表示向量r与法向量n的夹角，因此cos
=r与n的内积除以(r的长度×n的长度)，注意n的长度是1，第二型曲面积分的定义就是向量函数F与n的内积的第一型曲面积分。因此
1、＝第一型曲面积分【r与n的内积/(r的长度)】/r^2dS
＝第二型曲面积分（向量值函数r）/R^3 Gauss公式
＝3/R^3*三重积分dxdydz
=3*(4pi*R^3/3)R^3=4pi。
注意这个积分值与R无关。
2、取R充分小，使得球面T：x^2+y^2+z^2＝R^2包含在椭球体x^2/a^2+...+z^2/c^2=1内。取球面T的外法向量为正方向。在S与T夹的区域里被积函数cos/|r^2|的散度为0，因此原积分
＝在(－T)和S上的积分－在(－T）上的积分 其中－T表示法向量指向内部
第一个积分用Gauss公式得积分值是0
＝在T上的积分 由第一问知道
＝4pi。
3、若S不包含原点，则在S包含的封闭区域V内，可以验证，cos/|r|^2的散度为0，因此
用Gauss公式后积分值为0。